Question

已知函数f（x）=ax²-2x+1（a∈R）．
（1）f（x）在R上有零点，求a的取值范围；
（2）f（x）在[-1，0]上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）讨论a=0与a≠0两种情况，利用一次与二次函数求解f（x）在R上有零点，得到a的取值范围；
（2）f（x）在[-1，0]上有零点，转化成方程ax²-2x+1=0在[-1，0]内有解，然后将a分离出来，利用换元法求出等式另一侧的值域，从而求出a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）在R上有零点，当a=0时，f（x）=-2x+1，函数的零点为：

1

2

，满足题意；
当a≠0时，函数f（x）=ax²-2x+1有零点，则△=4-4a≥0，解得a≤1，
∴a的取值范围：（-∞，1]；
（2）∵f（x）=ax²-2x+1在[-1，0]内有零点
∴方程ax²-2x+1=0在[-1，0]内有解
即a=

2x-1

x2

=

2

x

-

1

x2

 x∈[-1，0]，令

1

x

=t，
t∈（-∞，-1]则a=2t-t² t∈（-∞，-3]．
∴a∈（-∞，-3]．

点评：本题主要考查了函数零点的判定，以及参数分离法的应用和二次函数的值域，同时考查了转化的思想和换元法的运用，属于基础题．