Question

利用单调性定义证明f（x）=x+

1

x

在（0，1]上是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，任意设x₁，x₂∈（0，1]，然后，作差比较大小，最后，得到结论即可．

解答： 解：任设x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)
=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)
=(x1-x2)

(x1x2-1)

x1 x2

，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∵x₁，x₂∈（0，1]，
∴0＜x₁x₂＜1，
∴x₁x₂-1＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=x+

1

x

在（0，1]上是减函数．

点评：本题需要注意题目条件，利用单调性的定义证明，容易出现利用导数直接得到结论的情形，其次，需要注意函数单调性的定义的运用．