Question

17．已知函数f（x）=e^x（x²+ax+a）（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=-1，判断f（x）是否存在最小值，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可判断，需要分类讨论，
（Ⅱ）根据导数和函数的最值得关系即可判断．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R．f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+2a]=e^x（x+2）（x+a）
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=-a
当-a=-2，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞），无单调减区间
当-a＜-2，即a＞2时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，-2）	-2	（-2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，f（x）的单调增区间为（-∞，-a），（-2，+∞），单调减区间为（-a，-2）
当-a＞-2，即a＜2时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（-a，+∞），单调减区间为（-2，-a）
（Ⅱ）f（x）有最小值，
∵a=-1，
∴f（x）=e^x（x²-x-1）．
令f（x）=0得$x=\frac{{1±\sqrt{5}}}{2}$．
所以f（x）有两个零点．
当$x＞\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$或$x＜\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$时，f（x）＞0，
当$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}＜x＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$时，f（x）＜0，
由（Ⅰ）可知，f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上单调增，在（-2，1）上单调减，
∴f（x）有最小值f（1）．

点评 本题考查利导数和函数的单调性和最值得关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想及导数性质的合理运用．