Question

2．已知圆N的圆心为（3，4），其半径长等于两平行线$（a-2）x+y+\sqrt{2}=0$，$ax+3y+2\sqrt{2}a=0$间的距离．
（1）求圆N的方程；
（2）点B（3，-2）与点C关于直线x=-1对称，求以C为圆心且与圆N外切圆的方程．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行求出a的值，再根据两平行线的距离公式得到半径，继而得到圆的方程，
（2）根据点的对称求出C的坐标，设所求圆的方程为（x+5）²+（y+2）²=r²（r＞0），根据圆与圆的位置关系即可求出r，继而得到圆的方程

解答 解：（1）∵直线$（a-2）x+y+\sqrt{2}=0$和$ax+3y+2\sqrt{2}a=0$平行，
∴3（a-2）-a=0，得a=3，
∴两平行直线间的距离为$\frac{{|{2\sqrt{2}-（-\sqrt{2}）}|}}{{\sqrt{2}}}=3$，
∴圆N的半径等于3，
则圆N的方程为（x-3）²+（y-4）²=9．
（2）∵点B（3，-2）与点C关于直线x=-1对称，
∴点C的坐标为（-5，-2），
设所求圆的方程为（x+5）²+（y+2）²=r²（r＞0），
∵圆C与圆N外切，
∴r+3=$\sqrt{{{（3+5）}^2}+{{（4+2）}^2}}=10$，得r=7，
∴圆C的方程为（x+5）²+（y+2）²=49．

点评 本题考查了圆的标准方程，以及圆与圆的位置关系，确定出圆心半径是解本题的关键，属于中档题