Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n．若对?n∈N^*，总?k∈N^*，使得S_n=a_k，则称数列{a_n}是“G数列”．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，其首项a₁=1，公差d=-1．证明：数列{a_n}是“G数列”；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ（n∈N^*），判断数列{a_n}是否为“G数列”，并说明理由；
（Ⅲ）证明：对任意的等差数列{a_n}，总存在两个“G数列”{b_n}和{c_n}，使得a_n=b_n+c_n（n∈N^*）成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据G数列的定义证明即可，
（Ⅱ）由${a_n}=\left\{\begin{array}{l}3，n=1\\ 2×{3^{n-1}}，n≥2\end{array}\right.$，可以判断数列{a_n}不是“G数列”，
（Ⅲ）若d_n=bn，（b为常数），可与判断数列{d_n}是“G数列”，继而可以证明a_n=b_n+c_n（n∈N^*）成立．

解答 解：（1）证明：由题意a_n=1+（n-1）（-1）=2-n，
${S_n}=n+\frac{n（n-1）}{2}（-1）$，
若${S_n}=n+\frac{n（n-1）}{2}（-1）={a_k}=2-k$，
则$k=2+\frac{n（n-1）}{2}-n$．
所以，存在k∈N^*，使得S_n=a_k．
所以，数列{a_n}是“G数列．
（Ⅱ）首先a₁=S₁=3，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=2×{3^{n-1}}$，
所以${a_n}=\left\{\begin{array}{l}3，n=1\\ 2×{3^{n-1}}，n≥2\end{array}\right.$
 当n=2时，9=2×3^k-1，得k∉N^*因此数列{a_n}不是“G数列”．
（Ⅲ）若d_n=bn，（b为常数），
则数列{d_n}的前n项和${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}b$是数列{d_n}中的第$\frac{n（n+1）}{2}$项，因此数列{d_n}是“G数列”．
对任意的等差数列{a_n}，a_n=a₁+（n-1）d，（d为公差），
设b_n=na₁，c_n=（d-a₁）（n-1），
则a_n=b_n+c_n，而数列{b_n}和{c_n}都是“G数列”．

点评 本题考查数列{a_n}是“G数列”的证明，考查学生解决问题，分析问题的能力，是中档题．