Question

20．（$\frac{2}{x}$+x+1）（1-2$\sqrt{x}$+x）⁴的展开式中x的系数是169（用数字作答）．

Answer 1

分析 （$\frac{2}{x}$+x+1）（1-2$\sqrt{x}$+x）⁴=（$\frac{2}{x}$+x+1）$（\sqrt{x}-1）^{8}$.$（\sqrt{x}-1）^{8}$的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}$（-1）^8-r$（\sqrt{x}）^{r}$=${∁}_{8}^{r}$（-1）^8-r${x}^{\frac{r}{2}}$．令$\frac{r}{2}$=2，0，1，分别解得r，进而得出．

解答 解：（$\frac{2}{x}$+x+1）（1-2$\sqrt{x}$+x）⁴=（$\frac{2}{x}$+x+1）$（\sqrt{x}-1）^{8}$．
$（\sqrt{x}-1）^{8}$的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}$（-1）^8-r$（\sqrt{x}）^{r}$=${∁}_{8}^{r}$（-1）^8-r${x}^{\frac{r}{2}}$．
令$\frac{r}{2}$=2，0，1，分别解得r=4，0，2．
∴（$\frac{2}{x}$+x+1）（1-2$\sqrt{x}$+x）⁴的展开式中x的系数=2×${∁}_{8}^{4}×（-1）^{4}$+${∁}_{8}^{0}$（-1）⁸+${∁}_{8}^{2}（-1）^{6}$=169．
故答案为：169．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．