Question

10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F₁，F₂为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 16
• D． 32

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得：焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），离心率为$\frac{1}{2}$．双曲线的离心率e=2=$\frac{c}{a}$，解得a=$\frac{1}{2}$．设|PF₂|=t．$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+t）^{2}}{t}$=$\frac{（1+t）^{2}}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+2，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得：焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），离心率为$\frac{1}{2}$．
∴双曲线的离心率e=2=$\frac{c}{a}$，解得a=$\frac{1}{2}$．设|PF₂|=t．
∴$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+t）^{2}}{t}$=$\frac{（1+t）^{2}}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+2≥$2\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+2=4，当且仅当t=|PF₂|=1时取等号．
∴$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值为4．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程与几何性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．