Question

9．下列命题中，真命题的个数为①对任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；③非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，则向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$的夹角为锐角；④$\frac{ln3}{3}＞\frac{ln2}{2}＞\frac{ln5}{5}$．（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 对于①，分a＞b≥0、a≥0＞b、0＞a＞b三类讨论，可判断①正确；
对于②，在△ABC中，利用正弦定理可判断②正确；
对于③，非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$⇒向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$的夹角为锐角或0，可判断③错误；
对于④，利用作差法可判断$\frac{ln3}{3}$-$\frac{ln2}{2}$=$\frac{ln9-ln8}{6}$＞0，即$\frac{ln3}{3}$＞$\frac{ln2}{2}$；同理可得，$\frac{ln2}{2}＞\frac{ln5}{5}$，可判断④正确．

解答 解：对于①，若a＞b≥0，则a|a|＞b|b|显然成立；
若a≥0＞b，a|a|＞b|b|?a²＞-b²?a²+b²＞0，成立；
若0＞a＞b，a|a|＞b|b||?-a²＞-b²?a²＜b²，成立；
故对任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件，故①正确；
对于②，在△ABC中，若A＞B，则a＞b，又由正弦定理知，a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，故②正确；
对于③，非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，则向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$的夹角为锐角或0，故③错误；
对于④，∵$\frac{ln3}{3}$-$\frac{ln2}{2}$=$\frac{2ln3-3ln2}{6}$=$\frac{ln9-ln8}{6}$＞0，
∴$\frac{ln3}{3}$＞$\frac{ln2}{2}$；
同理可得，$\frac{ln2}{2}＞\frac{ln5}{5}$；
∴$\frac{ln3}{3}＞\frac{ln2}{2}＞\frac{ln5}{5}$，故④正确．
综上所述，真命题的个数为3个，
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件、正弦定理、向量的数量积及对数的运算性质，考查分类讨论思想、等价转化思想的综合运用，属于中档题．