Question

在△ABC中，a²+c²-b²=ac，
（1）求角B的大小；                
（2）求sinA•sinC的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，将已知等式代入计算求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）由诱导公式及内角和定理得sinC=sin（A+B），把B度数代入表示出sinC，代入sinAsinC中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出最大值．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

；
（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sin（A+

π

3

）=

1

2

sinA+

3

2

cosA，
∴sinAsinC=sinA（

1

2

sinA+

3

2

cosA）=

1

2

（sin2A+

3

sinAcosA）=

1

2

（

1-cos2A

2

+

3

2

sin2A）=

1

2

sin（2A-

π

6

）+

1

4

，
∵0＜2A＜

4π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
则当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，sinAsinC有最大值

3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．