Question

已知

a

=（

3

sin2x，cos2x），

b

=（cos2x，-cos2x）．
（Ⅰ）若当x∈（

7π

24

，

5π

12

）时，

a

•

b

+

1

2

=-

3

5

，求cos4x的值；
（Ⅱ）cosx≥

1

2

，x∈（0，π），若关于x的方程

a

•

b

+

1

2

=m有且仅有一个实根，求实数m的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）首先根据向量的数量积，进一步对三角函数进行恒等变换，结合题中的定义域，求出cos4x的值．
（2）根据函数的单调性和函数的交点情况，利用函数的图象求出参数m的值．

解答： 解：（1）∵已知

a

=（

3

sin2x，cos2x），

b

=（cos2x，-cos2x）．
∴

a

•

b

+

1

2

=

3

sin2xcos2x-cos22x+

1

2

=

3

2

sin4x-

1

2

cos4x=sin（4x-

π

6

），
∵

a

•

b

+

1

2

=-

3

5

，
∴sin（4x-

π

6

）=-

3

5

，
∵x∈（

7π

24

，

5π

12

），
∴4x-

π

6

∈（π，

3π

2

），
∴cos（4x-

π

6

）=-

4

5

，
∴cos4x=cos[（4x-

π

6

）+

π

6

]=cos（4x-

π

6

）cos

π

6

-sin（4x-

π

6

）sin

π

6

）=

3-4 3

10

．
（2）∵x∈（0，π），cosx在（0，π）上是单调递减函数．
∴0＜x≤

π

3

令f（x）=

a

•

b

+

1

2

=sin（4x-

π

6

）  g（x）=m
根据在同一坐标系中函数的图象求得：m=1或m=-

1

2

．
故答案为：
（1）cos4x=

3-4 3

10

；
（2）m=1或m=-

1

2

．

点评：本题考查的知识点：向量的数量积，三角函数式的恒等变换，三角函数的求值，函数的单调性，三角函数的图象，以及参数的取值问题．