Question

已知cosx+siny=

1

3

，x，y∈R．
（1）若cosx•siny＞0，求

2siny+cosx

cosxsiny

的最小值；
（2）设t=sin²x-siny，求t的取值范围．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）原式整理后，利用基本不等式求出最小值即可；
（2）将已知等式变形表示出siny，t中第一项利用同角三角函数间基本关系变形，将siny代入，利用二次函数的性质求出范围即可．

解答： 解：（1）

2siny+cosx

cosxsiny

=

2

cosx

+

1

siny

=3×

1

3

（cosx+siny）（

2

cosx

+

1

siny

）=3（3+

2siny

cosx

+

cosx

siny

）≥3（3+2

2

），
当且仅当siny=

2 -1

3

，cosx=

2- 2

3

时等号成立；
（2）由cosx+siny=

1

3

，得siny=

1

3

-cosx，
由-1≤cosx≤1，-1≤siny≤1，得-

2

3

≤cosx≤1，
可得t=sin²x-siny=1-cos²x-

1

3

+cosx=-（cosx-

1

2

）²+

11

12

，
当cosx=-

2

3

时，tmin=-

4

9

；当cosx=

1

2

时，t_max=

11

12

，
则t的取值范围是[-

4

9

，

11

12

]．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．