Question

4．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1上，则f（x）=（　　）

• A． $f（x）=sin（\frac{1}{6}x+\frac{π}{3}）$
• B． $f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$
• C． $f（x）=sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}）$
• D． $f（x）=sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}）$

Answer 1

分析 根据题意，令y=0，求出点（-$\frac{2}{3}$，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（$\frac{1}{3}$，1）在函数f（x）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f（x）的解析式．

解答 解：【解法一】根据题意，令y=0，得-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1=0，
解得x=-$\frac{2}{3}$或x=1；
∴点（-$\frac{2}{3}$，0）在函数f（x）的图象上，
令y=1，解得x=0或x=$\frac{1}{3}$，
∴点（$\frac{1}{3}$，1）在函数f（x）的图象上，
∴T=4；
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{2}$；
由（$\frac{1}{3}$，1）在f（x）的图象上，得sin（$\frac{π}{2}$×$\frac{1}{3}$+φ）=1，
∴$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴k=0时，φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
故选：C．
【解法二】函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线$y=-\frac{3}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+1$上，
令y=0，得-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1=0，
解得x=-$\frac{2}{3}$或x=1；
∴点（-$\frac{2}{3}$，0）在函数f（x）的图象上，
∴-$\frac{2}{3}$ω+φ=0，即φ=$\frac{2}{3}$ω①；
又令ωx+φ=$\frac{π}{2}$，得ωx=$\frac{π}{2}$-φ②；
把①代入②得，x=$\frac{π}{2ω}$-$\frac{2}{3}$③；
令y=1，得-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1=1，
解得x=0或x=$\frac{1}{3}$；
即$\frac{π}{2ω}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
解得ω=$\frac{1}{2}$π，
∴φ=$\frac{2}{3}$ω=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
故选：C．

点评 本题考查了解函数y=sin（ωx+φ）以及二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．