Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=3a_n-λ（λ为常数）．
（1）求λ的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=3a_n-λ（λ为常数）．∴a₁=3a₁-λ，∴$\frac{1}{2}=3×\frac{1}{2}-λ$，解得λ=1．
∴S_n=3a_n-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-1-（3a_n-1-1），化为：${a}_{n}=\frac{3}{2}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为$\frac{3}{2}$，首项为$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（2）b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=2（n+1）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2$[2+3×\frac{2}{3}+4×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n-1}]$，
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=2$[2×\frac{2}{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}+…+n×（\frac{2}{3}）^{n-1}+（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n}]$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=2$[2+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+$…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}-（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n}]$=2$[1+\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}-（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n}]$=8-2（n+4）×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
解得T_n=24-6（n+4）×$（\frac{2}{3}）^{n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．