题目内容
13．已知数列{an}是等差数列，an+1＞an，a1•a10=160，a3+a8=37．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，求Sn=b1+b2+…+bn．
分析 （1）设等差数列{an}的公差为d，由an+1＞an，a1•a10=160，a3+a8=37．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）bn=${a}_{{2}^{n}}$=3×2n+2．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵an+1＞an，a1•a10=160，a3+a8=37．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（{a}_{1}+9d）=160}\\{2{a}_{1}+9d=37}\end{array}\right.$，化为${a}_{1}^{2}$-37a1+160=0，
解得a1=32，或5．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{d=-3}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{d=3}\end{array}\right.$．
∴an=5+3（n-1）=3n+2．
（2）bn=${a}_{{2}^{n}}$=3×2n+2．
∴Sn=b1+b2+…+bn=3（21+22+…+2n）+2n
=$3×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+2n
=3×2n+1-6+2n．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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4．
如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x+1上，则f（x）=（ ）
如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x+1上，则f（x）=（ ）| A． | $f（x）=sin（\frac{1}{6}x+\frac{π}{3}）$ | B． | $f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$ | C． | $f（x）=sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}）$ | D． | $f（x）=sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}）$ |
函数f（x）=6cos2$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
5．
如图，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左焦点、左顶点分别为F，C，过原点O的直线与两分支分别交于A，B（异于C点），若直线AF交BC于D点，且$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DF}$，则双曲线的离心率为（ ）
如图，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左焦点、左顶点分别为F，C，过原点O的直线与两分支分别交于A，B（异于C点），若直线AF交BC于D点，且$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DF}$，则双曲线的离心率为（ ）| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | $\frac{3}{2}$ |
3．已知F为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，且双曲线C的焦距为2c，定点G（0，c），若双曲线C上存在点P满足|PF|=|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
| A． | （$\sqrt{2}$，+∞） | B． | （1，$\sqrt{2}$） | C． | [$\sqrt{3}$，+∞） | D． | （1，$\sqrt{3}$） |