Question

如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=

1

2

AB，E是BP的中点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求CE与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AB=2a，则BD=

2

a，∠DBA=45°△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，以D点为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D点且垂直于平面ABCD的直线与z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA⊥BD．
（2）求出平面PAB的一个法向量和

CE

=（

3 2 a

4

，0，

2 a

4

），设CE与平面PAB所成角为θ，由sinθ=|cos＜

CE

，

n

＞|=

| CE • n |

| CE |•| n |

，利用向量法能求出CE与平面PAB所成角的正弦值．

解答： （1）证明：设AB=2a，则BD=

2

a，在△ADB中，由题意得∠DBA=45°∴AD=

2

a，又∵BD²+AD²=4a²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
如图，以D点为原点，DA所在直线为x轴，

DB所在直线为y轴，过D点且垂直于平面
ABCD的直线与z轴建立空间直角坐标系．
则B=（0，

2

a，0），P（

2

2

a，0，

2

2

a），
A（

2

a，0，0），D（0，0，0），

PA

=（

2

2

a，0，-

2

2

a），

BD

=（0，-

2

a，0），
∴

PA

•

BD

=0，
∴PA⊥BD．
（2）

PB

=（-

2

2

a，

2

a，-

2

2

a），

AB

=（-

2

a，

2

a，0），
设平面PAB的一个法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AB =- 2 ax+ 2 ay=0 n • PB =- 2 2 ax+ 2 ay- 2 2 az=0

，
令x=1，得

n

=（1，1，1），
C（-

2

2

a，

2

2

a，0），E（

2 a

4

，

2 a

2

，

2 a

4

），

CE

=（

3 2 a

4

，0，

2 a

4

），
设CE与平面PAB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

CE

，

n

＞|=

| CE • n |

| CE |•| n |

=

3 2 a  4 + 2 a  4

5 2 a• 3

=

2 30

15

．
∴CE与平面PAB所成角的正弦值为

2 30

15

．

点评：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用，注意向量法的灵活运用．