Question

对于函数f（x），我们把使得f（x）=x成立的x称为函数f（x）的“不动点”；把使得f（f（x））=x成立的x称为函数f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．
（1）求证：A⊆B；
（2）若f（x）=2x-1，求集合B；
（3）若f（x）=x²-a，且A=B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分类求解若A=∅，则A⊆B显然成立； 若A≠∅，
（2）得出f（f（t））=2（2x-1）-1=4x-3=x，求解即可．
（3）分类①△＜0，a＜

3

4

时，C=∅⊆A成立②△=0，A=

3

4

时，C={-

1

2

}，A={-

1

2

，

3

2

}，C⊆A成立③△＞0，总结即可．

解答： 解：（1）若A=∅，则A⊆B显然成立；                       
若A≠∅，
设t∈A，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t
∴t∈B，
故A⊆B
（2）∵f（x）=2x-1，
∴f（f（t））=2（2x-1）-1=4x-3=x，
∴x=1             
∴B={1}                                              
（3）∵A≠∅有实根，∴a≥-

1

4

方程f（f（t））=（x²-a）²-a=x，可化为（x²-x-a）（x²+x-a+1）=0
设方程x²+x-a+1=0的解集为C，方程f（f（x））=x的解集B═A∪C
∵A=B，∴C⊆A    　　　　　　　　　　　　   
方程x²+x-a+1=0的判别式△=4a-3
①△＜0，a＜

3

4

时，C=∅⊆A成立
②△=0，A=

3

4

时，C={-

1

2

}，A={-

1

2

，

3

2

}，C⊆A成立
③△＞0，a＞

3

4

时，不合题意
由①②③得a≤

3

4

综上所述　a∈[-

1

4

，

3

4

]

点评：本题考查了集合，函数的性质，方程等问题，属于中档题，计算较麻烦，分类清晰，讨论详细．