Question

如图，在四面体ABCD中，AB⊥面BCD，面ABC⊥面ACD，且∠ACB=∠CBD=45°，
（1）求证：BC⊥CD；
（2）求直线AC与平面ABD所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得平面ABC⊥面BCD，面ABC⊥面ACD，从而CD⊥面ABC，由此能证明BC⊥CD．
（Ⅱ）由已知得面ABD⊥面BCD，BD是交线，过点C作CE⊥BD，则CE⊥平面ABD，连结AE，得∠CAE是直线与面ABD所成的角，由此能求出直线AC与平面ABD所成角．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，AB?平面ABC，
∴平面ABC⊥面BCD，又面ABC⊥面ACD，面BCD∩面ACD=CD，
∴CD⊥面ABC，∵CD?平面ABC，
∴BC⊥CD．
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，AB?平面ABD，
∴面ABD⊥面BCD，BD是交线，
过点C作CE⊥BD，E是垂足，
则CE⊥平面ABD，连结AE，
得∠CAE是直线与面ABD所成的角，
由题意得BC是AC在面BCD上的射影，
由∠ACB=45°，得BC=

2

2

AC，
∵CE⊥BD，∠CBD=45°，∴CE=

2

2

BC=

1

2

AC，
在Rt△ACE中，sin∠CAE=

CE

AC

=

1

2

，∴∠CAE=30°，
∴直线AC与平面ABD所成角为30°．

点评：本题考查线面平行，线线垂直的性质的应用及证明，考查线面所成角的求法，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用，是中档题．