Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

π

6

）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函数的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先通过三角函数的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用三角函数的性质求出函数的周期和单调区间．
（Ⅱ）利用上步的结论，进一步利用函数的定义域求出三角函数的值域．

解答： （12分）
解：（Ⅰ）f（x）=cos x（

3

sin x+cos x）+1
=cos²x+

3

sin x cos x+1
=

cos2x+1

2

+

3 sin2x

2

+1
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

∵T=

2π

ω

=

2π

2

=π
即函数f（x）的最小正周期为：π．
由f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

令：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，（k∈Z）
故函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的单调递增区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）
（Ⅱ）x∈[-

π

6

，

π

3

]，-

π

3

≤2x≤

2π

3

，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴1≤sin（2x+

π

6

）+

3

2

≤

5

2

∴函数的值域为[1，

5

2

]．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变形问题，正弦型函数的性质的应用，周期性和单调性的应用，利用三角函数的定义域求三角函数的值域．属于基础题型．