Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹，数列{b_n}满足b_n=$\frac{10\sqrt{3}-n}{n}$a_n，存在m∈N^*，使得对任意的n∈N^*，不等式b_n≤b_m恒成立，则m的值是16．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹，变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1，利用等差数列的通项公式可得：a_n．代入b_n=$\frac{10\sqrt{3}-n}{n}$a_n．对n分类讨论，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1+n-1=n，
∴a_n=n•3ⁿ．
∴b_n=$\frac{10\sqrt{3}-n}{n}$a_n=$（10\sqrt{3}-n）$•3ⁿ．
b_n+1-b_n=3ⁿ$（20\sqrt{3}-2n-3）$，
当n≤15时，b_n+1＞b_n；当n≥16时，b_n+1＜b_n．
∴当n=16时，b_n取得最大值．
即存在m=16，使得对任意的n∈N^*，不等式b_n≤b_m恒成立，
故答案为：16．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．