Question

20．已知cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，α∈（0，π），则s$\frac{sin2α-2si{n}^{2}α}{1-tanα}$=-$\frac{7}{25}$，cos2α=-$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 由已知推导出sinα+cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，sinα-cosα=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，由此求出sinα，cosα，由此利用同角三角函数关系式、二倍角公式能求出$\frac{sin2α-2si{n}^{2}α}{1-tanα}$和cos2α．

解答 解：∵cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，α∈（0，π），
∴cos$αcos\frac{π}{4}$+sin$αsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα）=$\frac{3}{5}$，
∴sinα+cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，①
∴1+2sinαcosα=$\frac{18}{25}$，∴2sinαcosα=-$\frac{7}{25}$，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{32}{25}$，
∴sinα-cosα=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，②
联立①②，得sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-7，sin2α=2sinαcosα=-$\frac{7}{25}$，
∴则$\frac{sin2α-2si{n}^{2}α}{1-tanα}$=$\frac{-\frac{7}{25}-2×\frac{49}{50}}{1-（-7）}$=-$\frac{7}{25}$，
cos2α=2cos²α-1=2×$\frac{1}{50}$-1=-$\frac{24}{25}$．
故答案为：-$\frac{7}{25}$，-$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和二倍角公式的合理运用．