Question

给出定义：若x∈〔m-

1

2

，m+

1

2

]，（m∈z），则m叫做实数x的“亲密函数”，记作{x}=m，在此基础上给出下列 函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）在x∈（0，1）上是增函数；②函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
③函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称；
④当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）-ln x有两个零点
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据题意先对函数化简，然后作出函数的图象，根据函数的图象可判断各个选项是否正确．

解答： 解：①当x∈（-

1

2

，

1

2

]时，f（x）=|x-{x}|=|x-0|，
当x∈(

1

2

，

3

2

]时，f（x）=|x-{x}|=|x-1|，
当x∈(

3

2

，

5

2

]时，f（x）=|x-{x}|=|x-2|，
…
作出函数的图象如右图：
由图可知：①错，②，③对，
再作出y=ln x的图象可判断x∈（0，2]时有两个交点，④对
故答案为：②③④．

点评：本题为新定义题目，解题的关键是读懂定义内涵，尝试探究解决，属难题，考查由函数图象研究函数的性质，作图及识图能力、数形结合思想．