Question

若函数f（x）=tan²x-atanx（|x|≤

π

4

 ）的最小值为-6，求实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：由角的范围可得tanx的范围，由二次函数的知识分类讨论可得．

解答： 解：∵|x|≤

π

4

，∴m=tanx∈[-1，1]，
∴y=tan²x-atanx=m²-am，m∈[-1，1]，
由二次函数知识可知：
当

a

2

＜-1即a＜-2时，函数y=m²-am在m∈[-1，1]上单调递增，
故当m=-1时，函数取最小值，即1+a=-6，解得a=-7符合题意；
当

a

2

＞1即a＞2时，函数y=m²-am在m∈[-1，1]上单调递减，
故当m=1时，函数取最小值，即1-a=-6，解得a=7符合题意；
当-1≤

a

2

≤1即-2≤a≤2时，函数y=m²-am在m∈[-1，a]上单调递减，
在m∈[a，1]上单调递增，故当m=

a

2

时，函数取最小值，
即

a2

4

-

a2

2

=-6，解得a=±2

6

，均不符合题意
综上可得a的值为：±7
故答案为：±7

点评：本题考查三角函数的最值，涉及正切函数的值域和二次函数的最值，涉及分类讨论的思想，属中档题．