Question

关于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|-|x-7|＜10，通过两边平方和绝对值不等式的性质，即可得到解集；
（Ⅱ）设t=|x+3|-|x-7|，则0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）_max，求得最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|-|x-7|＜10，
由|x+3|＞|x-7|，两边平方，解得，x＞2，
由于||x+3|-|x-7||≤|（x+3）-（x-7）|=10，即有-10≤|x+3|-|x-7|≤10，
且x≥7时，|x+3|-|x-7|=x+3-（x-7）=10．
则有2＜x＜7．
故可得其解集为{x|2＜x＜7}；
（Ⅱ）设t=|x+3|-|x-7|，
则由对数定义及绝对值的几何意义知，0＜t≤10，
因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，
当t=10，即x=7时，lgt=1为最大值，
故只需m＞1即可，
即m＞1时，f（x）＜m恒成立．

点评：本题考查绝对值不等式和对数不等式的解法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．