Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点Q（-1，

2

2

），且离心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点M（1，0）的直线l与该椭圆相交于A、B两点，试问：在直线x=2上是否存在点P，使得△ABP是正三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题意，根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点Q（-1，

2

2

），且离心率e=

2

2

，建立a，b，c的方程求解即可；
（Ⅱ）问是否存在的问题在圆锥曲线中就先假设存在，并把直线方程与椭圆方程进行连联立，利用设而不求整体代换进行求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点Q（-1，

2

2

），且离心率e=

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，

1

a2

+

1 2

b2

=1…（2分）
解得a=

2

，b=1…（4分）
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）当直线l的斜率为0或不存在时，不存在符合题意的点P；…（6分）
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x=1+my（m≠0）
代入

x2

2

+y2=1，整理得（m²+2）y²+2my-1=0
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

2m

m2+2

，y₁y₂=-

1

m2+2

，
设存在符合题意的点P（2，t）（t≠0），
则|AB|=

1+m2

|y₁-y₂|=

1+m2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 2 (m2+1)

m2+2

…（8分）
设线段AB的中点M（x₃，y₃），则y₃=-

m

m2+2

，
∴x₃=1+my₃=

2

m2+2

∵△ABP是正三角形，
∴AB⊥PM且|PM|=

3

2

|AB|…（9分）
由AB⊥PM得k_AB•k_PM=-1，∴y_P-y₃=-m（x_P-x₃）
∴|PM|=

1+m2

•|2-

2

m2+2

|…（10分）
由|PM|=

3

2

|AB|得

1+m2

•|2-

2

m2+2

|=

3

2

•

2 2 (m2+1)

m2+2

，
解得m=±

2

2

…（12分）
由y_P-y₃=-m（x_P-x₃）得t-（-

m

m2+2

）=-m•

2(m2+1)

m2+2

∴t=-

m(2m2+3)

m2+2

=±

4 2

5

∴存在符合题意的点P（2，±

4 2

5

）…（13分）

点评：本题考查利用方程的思想由题意列出变量a，b的两个方程，然后求解曲线的轨迹方程；考查把直线方程与圆锥曲线方程进行联立设而不求整体代换的思想，还有对于圆锥曲线中是否存在利用假设的解题方法．