Question

已知动点M与点F（

1

2

，0）的距离和它到直线l：x=-

1

2

的距离相等，记点M的轨迹为曲线C₁．
（1）求曲线C₁的方程．
（2）设P（x₀，y₀）是曲线C₁上的动点，点B、C在y轴上，PB，PC分别与圆（x-1）²+y²=1相切于两点E，G．
（I）当y₀=4时，求|EG|；
（Ⅱ）当x₀＞2时，求△PBC面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出动点坐标，由已知列距离等式，代入坐标后整理得答案；
（2）（Ⅰ）求出P点的坐标，进一步求出以P和圆（x-1）²+y²=1的圆心连线为直径的圆，两圆方程作差求出过两切点的直线方程，再由点到直线的距离公式求出已知圆心到过两切点直线方程的距离，由圆的半径、弦心距和半弦长的关系求解|EG|；
（Ⅱ）设出B，C的坐标，求出直线BC的方程，由已知圆的圆心到直线的距离等于圆的半径得到(x0-2)b2+2y0b-x0=0，同理得到(x0-2)c2+2y0c-x0=0．说明b，c是方程
(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根．由求根公式求出b，c的值，作差后得到b-c，代入三角形的面积公式后利用基本不等式求△PBC面积的最小值．

解答： 解：（1）设动点M的坐标为（x，y），由题意可知，|MF|=|x+

1

2

|，
即

(x- 1 2 )2+y2

=|x+

1

2

|，
化简得：y²=2x．
∴曲线C₁的方程为y²=2x．
（2）（Ⅰ）当y₀=4时，点P坐标为（8，4），
如图，设圆（x-1）²+y²=1的圆心为I（1，0），
过P作圆I的两条切线分别切圆与E，G两点，
∴E，G两点都在以线段PI为直径的圆上．
由

PG

•

GI

=0，得以PI为直径的圆的方程是（x-1）（x-8）+y（y-4）=0．
而EG是圆（x-1）²+y²=1及圆（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦．
两圆相减得EG的方程：7x+4y-8=0．
圆心I（1，0）到直线7x+4y-8=0的距离是d=

|7-8|

72+42

=

1

65

．
∴|EG|=2

r2-d2

=2

1- 1 65

=

16

65

=

16

65

65

；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨设b＞c，
直线PB的方程：y-b=

y0-b

x0

x，化简得：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
又圆心（1，0）到PB的距离为1，则

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
故(y0-b)2+x02=(y0-b)2+2x0b(y0-b)+x02b2，
∵x₀＞2，上式化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0．
同理有(x0-2)c2+2y0c-x0=0．
∴b，c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根．
由求根公式得：x=

-2y0± (2y0)2-4(x0-2)(-x0)

2(x0-2)

=

-y0± x02+y02-2x0

x0-2

．
从而(b-c)2=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

．
∵P（x₀，y₀）是抛物线上的点，有y02=2x0，
则(b-c)2=

4x02

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

．
∴S△PBC=

1

2

(b-c)x0=

x0

x0-2

•x0=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥8．
当(x0-2)2=4时，上式取等号，此时x0=4，y0=±2

2

．
因此S_△PBC的最小值为8．

点评：本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．考查了学生的计算能力，是压轴题．