Question

设点M是椭圆x²+4y²=4上的一动点，点A（t，0）是椭圆长轴上的一点，若|MA|的最小值为d，试求函数d=f（t）的表达式．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设M（x，y），y=|MA|²=（x-t）²+1-

1

4

x²=

3

4

x2-2tx+t2+1，当x=

4

3

t时，y=1-

1

3

t²，由此进行分类讨论，能求出f（t）．

解答： 解：设M（x，y），|MA|²=（x-t）²+1-

1

4

x²=

3

4

x2-2tx+t2+1，t，x∈[-2，2]
设y=|MA|²=（x-t）²+1-

1

4

x²=

3

4

x2-2tx+t2+1，
对称轴为x=

4

3

t，
当x=

4

3

t时，y=1-

1

3

t²，
当t∈[-2，-

3

2

）时，

4

3

t∈[-

8

3

，-2），d=t+2，
当t∈[-

3

2

，

3

2

]时，

4

3

t∈[-2，2]，d=

1- 1 3 t2

，
当t∈（

3

2

，2]时，

4

3

t∈（2，

8

3

），d=2-t．
综上f（t）=

2+t，t∈[-2，- 3 2 ) 1- 1 3 t2 ，t∈[- 3 2 ， 3 2 ] 2-t，t∈( 3 2 ，2]

．

点评：本题考查函数表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．