Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

2

2

．过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的取值范围；
（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

2

2

，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设l：y=k（x-2），与椭圆C的方程联立，消去y，利用韦达定理，结合数量积公式，即可求

OA

•

OB

的取值范围；
（Ⅲ）由对称性可知N（x₂，-y₂），定点在x轴上．直线AN：y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，令y=0，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：由题意b=1，e=

c

a

=

2

2

得a²=2c²=2a²-2b²，故a²=2．
故方程为

x2

2

+y2=1．（3分）
（Ⅱ）解：设l：y=k（x-2），与椭圆C的方程联立，消去y得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
由△＞0得0≤k2＜

1

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

．
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2
=

10k2-2

1+2k2

=5-

7

1+2k2

．
∵0≤k2＜

1

2

，∴

7

2

＜

7

1+2k2

≤7，
故所求范围是[-2，

3

2

)．（8分）
（Ⅲ）证明：由对称性可知N（x₂，-y₂），定点在x轴上．
直线AN：y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，令y=0得：x=x1-

y1(x1-x2)

y1+y2

=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

2x1x2-2(x1+x2)

x1+x2-4

=

16k2-4 1+2k2 - 16k2 1+2k2

8k2 1+2k2 -4

=1，
∴直线l过定点（1，0）．（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查韦达定理，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．