Question

10．已知函数f（x）是R上的奇函数，对于?x∈（0，+∞），都有f（x+2）=-f（x）且x∈（0，1]时f（x）=2^x+1，则f（-2014）+f（2015）的值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． -3

Answer 1

分析 根据条件求出当x＞0时，函数的周期是4，结合函数周期性和奇偶性的性质进行转化进行求解即可．

解答 解：对于?x∈（0，+∞），由f（x+2）=-f（x）得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则函数的周期是4（x＞0），
∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
则f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=-f（1）=-（2+1）=-3，
f（-2014）=-f（2014）=-f（503×4+）=-f（2）=-[-f（0）]=f（0）=0，
则f（-2014）+f（2015）=-3+0=-3，
故选：D．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件求出当x＞0时函数的周期是4，结合函数周期性和奇偶性进行转化求解是解决本题的关键．