Question

18．已知函数$f（x）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+1$．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和最值；
（2）若0＜x＜π，求这个函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期以及函数的最值．
（2）利用正弦函数的单调区间，转化求解即可．

解答 解：（1）$y={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+1=\frac{cos2x+1}{2}+\frac{{\sqrt{3}sin2x}}{2}+1=\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}+1$=$sin\frac{π}{6}cos2x+cos\frac{π}{6}sin2x+\frac{3}{2}=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}$．
函数的最小正周期：π；最大值为：$\frac{5}{2}$，最小值为：$\frac{1}{2}$．
（2）因为函数y=sinx的单调递增区间为$[{-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ}]（{k∈Z}）$，
由（1）知$y=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}$，故$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（{k∈Z}）$，
∴$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ（{k∈Z}）$，
故函数$y=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}，0＜x＜π$的单调递增区间为$（{0，\frac{π}{6}}]$和$[{\frac{2π}{3}，π}）$；
单调递减区间为$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法正确的求法，考查计算能力．