Question

15．已知过点M（1，-1）的直线l与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$相交于A，B两点，若点M是AB的中点，则直线l的方程为3x-4y-7=0．

Answer 1

分析 方法一：设直线l的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，即可求得直线AB的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线l的方程；
方法二：设M（1+m，-1+n），N（1-m，-1-n），代入椭圆方程，作差，由直线l的斜率$\frac{n}{m}$=$\frac{3}{4}$，利用点斜式方程，即可求得直线l的方程．

解答 解：方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点坐标公式可知：x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，两式相减得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{{（{y}_{1}+{y}_{2}）（y}_{1}-{y}_{2}）}{3}$=0，
则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{3}{4}$，
则直线AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，则直线l的方程方程y+1=$\frac{3}{4}$（x-1），
整理得：3x-4y-7=0，
故答案为：3x-4y-7=0．
方法二：由点M是AB的中点，则设M（1+m，-1+n），N（1-m，-1-n），
则$\frac{（1+m）^{2}}{4}+\frac{（-1+n）^{2}}{3}=1$，①
$\frac{（1-m）^{2}}{4}+\frac{（-1-n）}{3}=1$，②
两式相减得：$\frac{2m}{4}+\frac{-2n}{3}=0$，
整理得：$\frac{n}{m}$=$\frac{3}{4}$，
直线AB的斜率k=$\frac{n}{m}$=$\frac{3}{4}$，则直线l的方程方程y+1=$\frac{3}{4}$（x-1），
整理得：3x-4y-7=0，
故答案为：3x-4y-7=0．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．