Question

已知函数f（x）=sinωx•cosωx+

3

cos²ωx-

3

2

（ω＞0）的最小正周期为

π

2

．
（1）求f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

8

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0在区间[0，

π

2

]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式：f（x）=sin（2ωx+

π

3

），然后，借助于周期公式，求解ω=2，从而确定函数解析式；
（2）根据函数图象变换，得到y=g（x）=sin（2x-

π

6

），然后，结合x∈[0，

π

2

]，得到g（x）=-k∈[-

1

2

，1]，从而得到结果．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinωxcosωx+

3

cos²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

1+cos2ωx

2

-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx
=sin（2ωx+

π

3

）
∴f（x）=sin（2ωx+

π

3

）
∵T=

2π

2ω

=

π

2

∴ω=2，
∴f（x）=sin（4x+

π

3

）；
（2）将函数f（x）的图象向右平移

π

8

个单位后，得到函数的解析式为：y=sin[4（x-

π

8

）+

π

3

]=sin（4x-

π

6

）
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，
∴y=g（x）=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴g（x）=-k∈[-

1

2

，1]，
∴k∈[-1，

1

2

]．
∴实数k的取值范围[-1，

1

2

]．

点评：本题重点考查了三角函数公式、二倍角公式、三角恒等变换等知识，属于中档题．