Question

甲乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，甲、乙每次投球命中率分别为

1

2

和P，若已知乙投球三次投中次数的期望与方差和为

8

3

．
（Ⅰ）求乙在三次投球中恰投中一次的概率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球3次，将两人投中的次数之差的绝对值记为ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）乙在三次投球中投中次数η～B（3，p），利用乙投球三次投中次数的期望与方差和为

8

3

，求出p，即可求乙在三次投球中恰投中一次的概率；
（Ⅱ）两人投中的次数之差的绝对值ξ的可能值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列．

解答： 解：（Ⅰ）乙在三次投球中投中次数η～B（3，p），则
∵已知乙投球三次投中次数的期望与方差和为

8

3

，
∴3p+3p（1-p）=

8

3

，
∴p=

2

3

，
∴乙在三次投球中恰投中一次的概率为

C

1 3

•

2

3

•(

1

3

)2=

2

9

；
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=

1

2

×(

1

3

)3+

1

2

×

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2=

7

54

，P（ξ=2）=

1

2

×(

2

3

)3+

1

2

×

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

=

10

27

，
P（ξ=3）=

1

2

×(

2

3

)3=

4

27

，P（ξ=1）=

19

54

，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	7 54	19 54	10 27	4 27

点评：本题考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题．