Question

已知函数y=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x，x∈R．
（1）求函数的最大值及取最大值时x的取值集合；
（2）求函数的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，借助于辅助角公式，化简函数解析式f（x）=2sin（

1

2

x+

π

3

），然后，借助于三角函数的图象与性质进行求解；
（2）直接根据正弦函数的单调区间进行求解即可．

解答： 解：（1）∵y=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x=2(

1

2

sin

1

2

x+

3

2

cos

1

2

x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)，
∴当sin(

1

2

x+

π

3

)=1时，y取最大值，y_max=2，
此时 

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

， k∈Z，
即x=4kπ+

π

3

， k∈Z，
故y取最大值时x的集合为：
{x|x=4kπ+

π

3

， k∈Z}．
（2）由2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

， (k∈Z)得：
4kπ+

π

3

≤x≤4kπ+

7

3

π，k∈Z，
所以函数的单调递减区间为：[4kπ+

π

3

，4kπ+

7

3

π](k∈Z)．

点评：本题重点考查了辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，注意k的取值情况，这是最容易遗漏的地方，也是失分点，本题属于中档题．