Question

数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

1+an

1-an

（其中n∈N^*），则a₆=

 

；使得a₁+a₂+a₃+…+a_n≥72成立的n的最小值是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：规律型,等差数列与等比数列

分析：利用a₁=

1

2

，a_n+1=

1+an

1-an

求出数列的前几项，判定出数列{a_n}是以4为周期的数列，求出a₆的值；求出一个周期的项的和，得出使得a₁+a₂+a₃+…+a_n≥72成立的n的最小值．

解答： 解：∵a₁=

1

2

，a_n+1=

1+an

1-an

（其中n∈N^*），
∴a2=

1+ 1 2

1- 1 2

=3，a3=

1+3

1-3

=-2，a4=

1-2

1+2

=-

1

3

，a5=

1- 1 3

1+ 1 3

=

1

2

，
∴数列{a_n}是以4为周期的数列，
∴a₆=a₂=3；
∵a1+a2+a3+a4=

7

6

，
∴60个周期的和为70，
∵每个周期的后两个数是-

1

3

，-2；
∴加到第60个周期的前2个数时和超过72，
∴使得a₁+a₂+a₃+…+a_n≥72成立的n的最小值是59×4+2=238．
故答案为：3；238．

点评：本题考查由递推关系求数列的项并求通项公式；找规律求和的范围，属于一道中档题．