Question

选修4-4：极坐标与参数方程选讲：在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=-2+ 1 2 t y= 3 + 3 2 t

（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C的极坐标方程为ρ=-2cosθ+2

3

sinθ
（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）设点P的直角坐标为（-2，

3

），直线l与圆C相交于两点A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）根据直线的参数方程，消去参数得到普通方程，借助于极坐标方程和直角坐标方程的互化公式进行化简即可；
（2）首先，联立方程组，得到4x²+2x-3=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到x₁+x₂=-

1

2

，x₁x₂=-

3

4

，然后，结合两点间的距离公式进行求解即可．

解答： 解：（1）根据直线l的参数方程为

x=-2+ 1 2 t y= 3 + 3 2 t

（t为参数），
得

3

x-y+

3

=0，
根据圆C的极坐标方程为ρ=-2cosθ+2

3

sinθ，得
x²+y²=-2x+2

3

y，
∴（x+1）²+（y-

3

）²=4，
（2）联立方程组

3 x-y+ 3 =0 (x+1)2+(y- 3 )2=4

，得
4x²+2x-3=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-

1

2

，x₁x₂=-

3

4

，
∴|PA|•|PB|=

(x1+2)2+(y1- 3 )2

•

(x2+2)2+(y2- 3 )2

=

4x12+2x1-3+2x1+7

•

4x22+2x2-3+2x2+7

=

2x1+7

•

2x2+7

=

4x1x2+14(x1+x2)+49

=

4×(- 3 4 )+14×(- 1 2 )+49

=

39

．
∴|PA|•|PB|=

39

．

点评：本题重点考查了直线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．