Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点都在表面积为16π的球O的球面上，其中AB：AD：AA₁=2：1：

3

，则四棱锥O-ABCD的体积为（　　）

• A、

  2 6

  3

• B、

  6

  3

• C、2

  3

• D、3

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知得球O的半径R=2，设AB=2k，AD=k，AA₁=

3

k，则（2k）²+k²+（

3

k）²=（2R）²=16，得到AB=2

2

，AD=

2

，AA₁=

6

，由此能求出四棱锥O-ABCD的体积．

解答： 解：设球O的半径为R，16π=4πR²，R=2，2R=4，
设AB=2k，AD=k，AA₁=

3

k，
（2k）²+k²+（

3

k）²=（2R）²=16，
解得k=

2

，
∴AB=2

2

，AD=

2

，AA₁=

6

，
四棱锥O-ABCD的底面积S=AB×AD=4，
高h=

1

2

AA₁=

6

2

，
四棱锥O-ABCD的体积V=

1

3

×4×

6

2

=

2 6

3

．
故选：A．

点评：本题考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．