Question

下列说法：
①“?x∈R”使“2^x＞3”的否定“?x∈R，使2^x＜3
②把函数y=sin2x图象上所有点向右平移

π

3

个单位得到y=sin（2x-

π

3

）的图象
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题；
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则x＜0时的解析式为f（x）=-2^-x
其中所有说法正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用命题的否定即可判断出；
②把函数y=sin2x图象上所有点向右平移

π

3

个单位得到y=sin（2（x-

π

3

））=sin(2x-

2π

3

)的图象，即可判断出；
③举反例：函数f（x）=x³，虽然在x=0处没有极值，但是f′（0）=0，因此不正确；
④由于x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则x＜0时，-x＞0，可得f（-x）=2^-x，由于f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，可得f（x）=-f（-x）即可得出．

解答： 解：①“?x∈R”使“2^x＞3”的否定“?x∈R，使2^x≤3”，因此不正确；
②把函数y=sin2x图象上所有点向右平移

π

3

个单位得到y=sin（2（x-

π

3

））=sin(2x-

2π

3

)的图象，因此不正确；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x）=0”的否命题是“函数f（x）在x=x₀处没有极值，则f′（x）≠0”是真命题，例如函数f（x）=x³，虽然在x=0处没有极值，但是f′（0）=0，因此不正确；
④∵x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则x＜0时，-x＞0，∴f（-x）=2^-x，由于f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-2^-x，因此正确．
其中所有说法正确的是 ④．
故答案为：④．

点评：本题考查了简易逻辑的判定、三角函数的平移变换、函数取得极值的充要条件、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．