Question

判断下列说法正确的是

 

．
①在直线y=xtanα+3中，斜率k=tanα，α为倾斜角
②过点（x₁，y₁），（x₂，y₂）所有直线方程为（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）
③a，b为异面直线，与a，b都相交的两条直线l₁，l₂不可能相交．
④y=

x2-8x+20

+

x2+1

的最小值为5．
⑤P是△ABC所在平面外一点，若点P到三角形的三个顶点的距离相等，则P点的射影为△ABC的外心．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：直线与圆,简易逻辑

分析：①，在直线y=xtanα+3中，斜率k=tanα，α不一定为倾斜角，可判断①；
②，分l⊥x轴与l不与x轴垂直两类讨论，可得过点（x₁，y₁），（x₂，y₂）所有直线方程为（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁），可判断②；
③，利用反证法可证得与异面直线a，b都相交的两条直线l₁，l₂不可能相交，可判断③
④，利用y=

x2-8x+20

+

x2+1

的几何意义，可判断④．
⑤，P是△ABC所在平面外一点，若点P到三角形的三个顶点的距离相等⇒P点的射影O到△ABC的各顶点的距离相等，可判断⑤．

解答： 解：对于①，在直线y=xtanα+3中，斜率k=tanα，α为倾斜角，①正确；
对于②，过点（x₁，y₁），（x₂，y₂）的直线l的方程：
当l⊥x轴时，x=x₁=x₂，满足（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）；
当l不与x轴垂直时，l的方程为：y-y₁=

y2-y1

x2-x1

（x-x₁），满足（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）；
所以，所有直线方程为（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁），即②正确；
对于③，a，b为异面直线，与a，b都相交的两条直线l₁，l₂不可能相交，③正确，
理由如下：假设l₁，l₂相交，则l₁，l₂共面，于是可得直线a与直线b共面，与a，b为异面直线矛盾，故直线l₁，l₂不可能相交；
对于④，y=

x2-8x+20

+

x2+1

的几何意义为：数轴上的点A（x，0）到点M（4，2）与N点（0，1）的距离之和，

设点N关于x轴的对称点为N′，则|MA|+|AN|=|MA|+|AN′|≥|MN′|（当且仅当M、A、N′三点共线时取“=”），
即y=

x2-8x+20

+

x2+1

≥|MN′|=

42+(2-(-1))2

=5，其最小值为5，④正确．
对于⑤，P是△ABC所在平面外一点，若点P到三角形的三个顶点的距离相等，则P点的射影O到△ABC的各顶点的距离相等，所以O为△ABC的外心，⑤正确．
故答案为：①②④⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查直线的方程、空间直线的位置关系、函数表达式的几何意义的应用，属于中档题．