Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AA₁=AC=AB，∠BAC=90°，点E，F，G分别是棱BB₁，A₁B₁，CC₁的中点．求证：AF⊥BG．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：根据条件以A为坐标原点，以AB，AC，AA₁分别x，y，z轴建立空间坐标系，利用坐标法进行证明即可．

解答： 证明：∵AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°
∴建立以A为坐标原点，以AB，AC，AA₁分别x，y，z轴建立空间坐标系如图：
∵AA₁=AC=AB，
∴设AA₁=AC=AB=1，
则B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（0，1，1），
∵点E，F，G分别是棱BB₁，A₁B₁，CC₁的中点，
∴F（

1

2

，0，1），G（0，1，

1

2

），
则

AF

=（

1

2

，0，1），

BG

=（-1，1，

1

2

），
则

AF

•

BG

=（

1

2

，0，1）•（-1，1，

1

2

）=-

1

2

+

1

2

=0，
则

AF

⊥

BG

，即AF⊥BG

点评：本题主要考查空间直线垂直的判断，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．