题目内容
已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0），F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，点F2（c，0）到直线l：x=
的距离为3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在以原点为圆心的圆，是该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
⊥
？若存在，写出该圆的方程，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求证：
+
为定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| a2 |
| c |
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在以原点为圆心的圆，是该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
| OA |
| OB |
（3）在（2）的条件下，求证：
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）运用等差数列的性质和椭圆的定义和点到直线的距离公式，可得a=2，c=1，进而得到b，即得椭圆方程；
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜
）．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，以及向量垂直的条件得到t2=
（1+k2），再由直线和圆相切的条件，求出r，再检验，再讨论k不存在的情况，容易得到结论；
（3）k不存在，容易得到定值，若k存在，则将椭圆方程化为极坐标方程，由于OA⊥OB，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，
+θ），运用三角函数的诱导公式和平方关系，即可得证．
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜
| 3 |
| 12 |
| 7 |
（3）k不存在，容易得到定值，若k存在，则将椭圆方程化为极坐标方程，由于OA⊥OB，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，
| π |
| 2 |
解答：
解：（1）|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，则|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=4c，
由椭圆定义，可得，2a=4c，即a=2c，
又点F2（c，0）到直线l：x=
的距离为3，即有
-c=3，解得a=2，c=1，b=
，
则椭圆E的方程为：
+
=1；
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜
）．
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，
由
，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2-12=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
，①
∵
⊥
即
•
=0，∴x1x2+y1y2=0，
又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，
即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0． ②
将①代入②，得（1+k2）
-
+t2=0，
即t2=
（1+k2）．
∵直线AB与圆x2+y2=r2相切，
∴r=
=
=
∈（0，
），
∴存在圆x2+y2=
满足条件．
当直线AB的斜率不存在时，易得x12=x22=
，
代入椭圆的方程，得y12=y22=
，满足
⊥
．
综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=
满足条件．
（3）证明：由（2）若k不存在，则可设A（
，
），B（
，-
），
即有
+
=
；
若k存在，则将椭圆方程化为极坐标方程，即有3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，
即有ρ2=
=
，
由于OA⊥OB，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，
+θ），即有ρ12=
，ρ22=
，
则有
+
=
+
=
．
故
+
为定值，且为
．
由椭圆定义，可得，2a=4c，即a=2c，
又点F2（c，0）到直线l：x=
| a2 |
| c |
| a2 |
| c |
| 3 |
则椭圆E的方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜
| 3 |
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，
由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| -8kt |
| 3+4k2 |
| 4t2-12 |
| 3+4k2 |
∵
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，
即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0． ②
将①代入②，得（1+k2）
| 4t2-12 |
| 3+4k2 |
| 8k2t2 |
| 3+4k2 |
即t2=
| 12 |
| 7 |
∵直线AB与圆x2+y2=r2相切，
∴r=
| |t| | ||
|
| ||||
|
| ||
| 7 |
| 3 |
∴存在圆x2+y2=
| 12 |
| 7 |
当直线AB的斜率不存在时，易得x12=x22=
| 12 |
| 7 |
代入椭圆的方程，得y12=y22=
| 12 |
| 7 |
| OA |
| OB |
综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=
| 12 |
| 7 |
（3）证明：由（2）若k不存在，则可设A（
| ||
| 7 |
| ||
| 7 |
| ||
| 7 |
| ||
| 7 |
即有
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 7 |
| 12 |
若k存在，则将椭圆方程化为极坐标方程，即有3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，
即有ρ2=
| 12 |
| 3cos2θ+4sin2θ |
| 12 |
| 3+sin2θ |
由于OA⊥OB，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，
| π |
| 2 |
| 12 |
| 3+sin2θ |
| 12 |
| 3+cos2θ |
则有
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 3+sin2θ |
| 12 |
| 3+cos2θ |
| 12 |
| 7 |
| 12 |
故
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 7 |
| 12 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用把直线和圆锥曲线联立，利用根与系数的关系求解，考查了计算能力，属高考试卷中的压轴题．
练习册系列答案
相关题目
复数Z=
，则复数Z对应的点在（ ）
| ||
1-
|
| A、第一象限或第三象限 |
| B、第二象限或第四象限 |
| C、x轴正半轴上 |
| D、y轴正半轴上 |
已知直线的方程为3x+2y-7=0，则直线的斜率为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、-
| ||
D、-
|
设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2，3}，N={2，4，5}，则∁UM∩∁UN=（ ）
| A、空集 |
| B、{4} |
| C、{1，3} |
| D、{2，5 } |
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．