Question

已知f（

x+1

x

）=

x2+x+1

x2

，则f（x）的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意化简f（

x+1

x

）=

x2+x+1

x2

=1+

1

x

+

1

x2

，令

x+1

x

=u，则

1

x

=u-1，（u≠1）；从而求出f（x）的表达式，再用配方法求函数的最值．

解答： 解：∵f（

x+1

x

）=

x2+x+1

x2

=1+

1

x

+

1

x2

，
令

x+1

x

=u，则

1

x

=u-1，（u≠1）；
故f（u）=1+u-1+（u-1）²=（u-

1

2

）²+

3

4

，
∴f（x）=（x-

1

2

）²+

3

4

，（x≠1）
故当x=

1

2

时，f（x）有最小值

3

4

，
故答案为：

3

4

．

点评：本题考查了换元法求函数的解板式，同时考查了配方法求函数的最值，属于中档题．