Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（1）求证：D₁F⊥平面AED；
（2）求平面AED与平面A₁ED₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明D₁F⊥AE，AD⊥D₁F，即可证明D₁F⊥平面ADE；
（2）建立直角坐标系，求出平面A₁ED₁的法向量、平面AED的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求出平面AED与平面A₁ED₁所成锐二面角的余弦值．

解答： （1）证明：取AB中点G，连接A₁G，FG．
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四边形，A₁G∥D₁F．
因为△A₁AG≌△ABE，所以A₁G⊥AE，
所以D₁F⊥AE．
因为AC₁是正方体，
所以AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，
所以AD⊥D₁F．
因为AD∩AE=A，
所以D₁F⊥平面ADE；
（2）建立如图所示的直角坐标系，D（0，0，0），A（1，0，0），D₁（0，0，1），E（1，1，

1

2

），F（0，

1

2

，0），
则

D1E

=（1，1，-

1

2

），

D1A1

=（1，0，0），
设平面A₁ED₁的法向量为

n

=（x，y，z），则

x+y- 1 2 z=0 x=0

，令z=2，则

n

=（0，1，2），
由（1）知，平面AED的一个法向量为

D1F

=（0，

1

2

，-1），
所以平面AED与平面A₁ED₁所成锐二面角的余弦值为|

1 2 -2

5 • 1 4 +1

|=

3

5

．

点评：本题考查线面垂直，考查平面AED与平面A₁ED₁所成锐二面角的余弦值，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．