Question

4．若圆（x-3）²+y²=1上只有一点到双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 圆（x-3）²+y²=1上只有一点到双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线的距离为1，圆心到渐近线bx+ay=0的距离d=$\frac{|3b|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=2，得出a，b的关系，可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：∵圆（x-3）²+y²=1上只有一点到双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线的距离为1，
∴圆心到渐近线bx+ay=0的距离d=$\frac{|3b|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=2，
∴∴b²=$\frac{4}{5}$a²，∴c²=$\frac{9}{5}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
故选A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，属于中档题．