Question

19．设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的个数是（　　）
①对于一切x∈（-∞，1）都有f（x）＞0；
②存在x＞0使a^x，b^x，c^x不能构成一个三角形的三边长；
③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 ①利用指数函数的性质以a．b．c构成三角形的条件进行证明；
②可以举反例进行判断；
③利用函数零点的存在性定理进行判断．

解答 解：对于①，a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，
∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，
当x∈（-∞，1）时，f（x）=a^x+b^x-c^x=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{b}{c}）}^{x}$-1]
＞c^x•（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1）=c^x•$\frac{a+b-c}{c}$＞0，∴①正确；
对于②，令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形，
但a²=4，b²=9，c²=16却不能构成三角形，∴②正确；
对于③，c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，则a²+b²-c²＜0，
∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴由根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，
即?x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正确；
综上，正确命题的个数为3个．
故选：A．

点评 本题考查了函数零点的存在性定理，指数函数的性质，以及余弦定理的应用问题，是综合题．