Question

已知实数x、y满足条件

x-y-5≥0 x+2y≥0 x≤5

，z=x+yi（i为虚数单位），则|z-1+3i|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：根据复数的模长公式，结合线性规划的应用即可得到结论．

解答： 解：|z-1+3i|=|x+yi-1+3i|=|（x-1）+（y+3）i|=

(x-1)2+(y+3)2

，
设m=

(x-1)2+(y+3)2

，则m的几何意义为动点（x，y）到点D（1，-3）的距离，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知AD的距离最小，
由

x-y-5=0 x+2y=0

，解得

x= 10 3 y=- 5 3

，
即A（

10

3

，-

5

3

），
则AD=

( 10 3 -1)2+(- 5 3 +3)2

=

49 9 + 16 9

=

65 9

=

65

3

，
即设m=

(x-1)2+(y+3)2

的最小值为

65

3

，
故答案为：

65

3

点评：本题主要考查复数模长的计算，利用线性规划的知识是解决本题的关键．注意要利用数形结合的数学思想．