Question

10．已知函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a （a∈R，a为常数）
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]最小值为3，求a的值；
（3）若函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的单调性和周期性，得出结论．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a的最小值．
（3）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得实数m的最小值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a，它的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，故函数的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
f（x）的最小值为-1+a=3，求得a=4．
（3）若函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+m）-$\frac{π}{6}$]+a
=2sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$）+a的图象，根据所得图象关于y轴对称，
可得2m-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故实数m的最小值为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．