Question

3．如图，点C是圆O直径BE的延长线上一点，AC是圆O的切线，A为切点，∠ACB的平分线CD分别与AB、AE交于D、F．
（1）求证：AD=AF；
（2）若AB=AC，求$\frac{S{\;}_{△ACE}}{{S}_{△BCA}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质和角平分线的性质可得∠ADF=∠AFD，即可证明结论；
（2）利用等边对等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．进而得到△ACE∽△BCA，即可求$\frac{S{\;}_{△ACE}}{{S}_{△BCA}}$的值．

解答 （1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．
又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．
∴AD=AF．
（2）解：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．
由（1）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，
∴∠B=30°．
∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴$\frac{S{\;}_{△ACE}}{{S}_{△BCA}}$=$（\frac{AE}{AB}）^{2}=（tan\frac{π}{6}）^{2}=\frac{1}{3}$．

点评 熟练掌握圆的性质、切线的性质和角平分线的性质、弦切角定理、相似三角形的性质等是解题的关键．