Question

18．f（x）=x²-lnx²，若α∈（0，π），且f（sinα）＞f（cosα），则α的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}$，π）
• B． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）
• C． （0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）
• D． （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{3π}{4}$，π）

Answer 1

分析 求出f（x）的单调性和奇偶性，根据函数的性质得到sinα＜|cosα|，结合α的范围，求出满足条件的a的范围即可．

解答 解：f（x）=x²-lnx²的定义域是{x|x≠0}，
x＞0时，f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
而f（-x）=f（x），f（x）是偶函数，
∴f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，0）递增，
若f（sinα）＞f（cosα），
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜α＜π}\\{sinα＜|cosα|}\end{array}\right.$，
解得：0＜α＜$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$＜α＜π，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性．奇偶性问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道中档题．