Question

2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+2=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与曲线C的位置关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用基本公式x=ρcosθ，y=ρsinθ求出曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求出圆C的半径r，圆心C（1，-1）到直线l：x-y+2=0的距离d，比较d与r的大小，即可得到所求位置关系．

解答 解：（Ⅰ）∵$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$=2cosθ-2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2x+2y=0，即（x-1）²+（y+1）²=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的半径r=$\sqrt{2}$，
圆心C（1，-1）到直线l：x-y+2=0的距离d=$\frac{|1+1+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$＞$\sqrt{2}$．
∴直线l与圆C相离．

点评 本题考查极坐标方程化为普通方程，考查直线与圆位置关系的判定：注意运用圆心到直线的距离与半径的关系，属于基础题．