Question

19．设函数f（x）=1-e^x，g（x）=lg（ax²-4x+1），若对任意x₁∈[0，+∞），都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为（-∞，4]．

Answer 1

分析 设g（x）=lg（ax²-4x+1）的值域为A，若对任意x₁∈[0，+∞），都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），则函数f（x）=1-e^x，x∈[0，+∞）的值域（-∞，0]⊆A，即真数部分ax²-4x+1能取遍（0，1）中的每一个数，进而得到答案．

解答 解：设g（x）=lg（ax²-4x+1）的值域为A，
∵函数f（x）=1-e^x，x∈[0，+∞）的值域为（-∞，0]，
若对任意x₁∈[0，+∞），都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
则（-∞，0]⊆A，
∴h（x）=ax²-4x+1能取遍（0，1）中的每一个数，
又∵h（0）=1，
∴a≤0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△≥0\end{array}\right.$，
即a≤0，或0＜a≤4，
综上可得实数a的取值范围为（-∞，4]，
故答案为：（-∞，4]

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的值域，对数函数的图象和性质，难度中档．